Research FilesСудалгааны баримтууд

Code, Notes & PaperКод, Тэмдэглэл & Өгүүлэл

All source files from the GitHub repository, with explanations. Click any file to expand.GitHub репозиторийн бүх файл тайлбарын хамт. Файл дарж задлаарай.

🐍
analyze.py
Main analysis script — computes BK amplitude law correlation across zero datasets.Гол шинжилгээний скрипт — BK амплитудын хуулийн корреляцийг тооцоолно.
PythonNumPySciPyMatplotlib
▼
What this doesЮу хийдэг вэ
Loads Odlyzko zero data, computes spacing covariances C(h) for prime lags h=p, then tests the BK prediction A(p) ~ (log p)²/p using Pearson correlation. Outputs r value, p-value, and scatter plot. Одлызкогийн тэгийн өгөгдлийг уншиж, прайм лаг h=p дээрх зайн ковариансыг C(h) тооцоолоод, Pearson корреляц ашиглан BK таамаглал A(p) ~ (log p)²/p-г шалгана. r утга, p-value, scatter plot гаргана.
1
Load zeros from zeros4.txt (Odlyzko high-T data)zeros4.txt-аас тэгүүдийг уншина (Одлызкогийн өндөр-T өгөгдөл)
2
Compute spacings δₙ = γₙ₊₁ − γₙ and center themδₙ = γₙ₊₁ − γₙ зайнуудыг тооцоолж, төвлүүлнэ
3
For each prime p: compute covariance C(p) = mean(δₙ · δₙ₊ₚ)Прайм p бүрт: ковариансыг C(p) = mean(δₙ · δₙ₊ₚ) тооцоолно
4
Compute Pearson r between C(p) and (log p)²/pC(p) болон (log p)²/p хооронд Pearson r тооцоолно
5
Save scatter plot → scatter.pngScatter plot хадгална → scatter.png
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import pearsonr

# Load zero heights
x = np.loadtxt("zeros4.txt")

# Spacings
d = np.diff(x)
d = d - d.mean()  # center

primes = [2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37]
vals = []

for p in primes:
    a = d[:-p]
    b = d[p:]
    c = np.mean(a*b)  # covariance at lag p
    vals.append(c)

vals = np.array(vals)
target = (np.log(primes)**2) / np.array(primes)

# BK amplitude law test
r, pv = pearsonr(vals, target)
print("correlation =", r)
print("p-value =", pv)

# Scatter plot
plt.scatter(target, vals)
plt.xlabel(r'$(\log p)^2/p$')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('Prime-Locked Excess')
plt.savefig("scatter.png", dpi=200)
📊
code/01_power_spectrum.py
Computes the power spectrum S(τ) of Riemann zeros and plots peaks at prime frequencies.Риман тэгүүдийн S(τ) power spectrum тооцоолж, прайм давтамж дээрх оргилуудыг зурна.
PythonNumPyFourier
▼
What this doesЮу хийдэг вэ
Computes S(τ) = |Σ e^{iτγₙ}|²/N for a range of τ values, then marks the prime frequencies τ_p = log(p)/2π on the spectrum. This was the first analysis that showed excess signal at prime positions. τ утгуудын мужид S(τ) = |Σ e^{iτγₙ}|²/N тооцоолж, спектр дээр прайм давтамж τ_p = log(p)/2π-г тэмдэглэнэ. Энэ нь прайм позиц дээр илүүдэл дохио харуулсан анхны шинжилгээ байв. 
"""Тэгүүдийн power spectrum S(tau) тооцоолох"""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def power_spectrum(tau, gamma):
    """S(tau) = |Σ e^{i τ γ_n}|² / N"""
    N = len(gamma)
    Z = np.sum(np.exp(1j * tau * gamma))
    return np.abs(Z)**2 / N

# Prime frequencies τ_p = log(p) / 2π
primes = np.array([2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37])
tau_p = np.log(primes) / (2*np.pi)

# Full spectrum
tau_all = np.linspace(0, 0.8, 1000)
S_all = np.array([power_spectrum(t, gamma) for t in tau_all])
S_obs = np.array([power_spectrum(t, gamma) for t in tau_p])
📐
notes/framework_summary.md
Mellin operator framework — the mathematical foundation connecting prime operators to zeta zeros.Меллин операторын хүрээ — прайм операторуудыг зета тэгүүдтэй холбосон математик суурь.
MathematicsOperator TheoryL²
▼
Mathematical frameworkМатематик хүрээ
The Mellin transform framework provides an operator-theoretic explanation for why prime frequencies appear in zeta zero statistics. The key result is that the prime convolution operator acts as a multiplier via −ζ'/ζ. Меллин хувиргалтын хүрээ нь прайм давтамжууд яагаад зета тэгийн статистикт гарч ирдгийг операторын онолоор тайлбарлана. Гол үр дүн нь прайм конволюцийн оператор −ζ'/ζ-ээр үржигч болж ажиллана. 
## Hilbert space
H = L²((0,∞), dx/x)

## Mellin transform
(Mf)(τ) = (1/√(2π)) ∫₀^∞ f(x) x^{-iτ} dx/x

## Prime operator
(P_σ f)(x) = Σ_{n≥1} Λ(n)/n^σ · f(x/n)

## Multiplier theorem  ← KEY RESULT
M[P_σ f](τ) = -ζ'(σ+iτ)/ζ(σ+iτ) · Mf(τ)

## Energy identity
E(σ,ε,X) = ∫_R |ζ'/ζ(σ+iτ)|² |φ̂(τ)|² dτ
🔍
notes/failure_analysis.md
Why the initial BK amplitude test failed — and how the correct normalization was discovered.Яагаад анхны BK амплитудын тест амжилтгүй болсон — зөв нормализаци хэрхэн олдсон.
AnalysisNormalizationDebugging
▼
The key insightГол ойлголт
Initial results showed r ≈ 0.4–0.6, suggesting BK law was not confirmed. The problem was the normalization: using τ_p = log(p)/2π (low-T formula) instead of the correct high-T unfolded frequency τ_p = log(p)/log(T/2π). Using the corrected normalization produced r ≈ 0.014 in this dataset. Анхны үр дүнд r ≈ 0.4–0.6 гарч, BK хууль батлагдаагүй мэт харагдав. Асуудал нь нормализацид байсан: зөв өндөр-T задгай давтамж τ_p = log(p)/log(T/2π)-н оронд τ_p = log(p)/2π (бага-T томьёо) ашигласан байв. Зассаны дараа r = 0.014 гарсан. 
## ❌ WRONG normalization (low-T)
τ_p = log(p) / (2π)
# → r ≈ 0.4–0.6, BK not confirmed

## ✅ CORRECT normalization (high-T unfolded)
τ_p = log(p) / log(T / 2π)
# → r = 0.014

## Why this matters
# At height T, zeros have mean spacing ~2π/log(T/2π)
# The "unfolded" coordinate accounts for this
# Montgomery's pair correlation uses this normalization
Lesson learned
Scientific failures are valuable. This failure led directly to the key insight that produced r = 0.014. Шинжлэх ухааны бүтэлгүйдэл үнэтэй. Энэ бүтэлгүйдэл r = 0.014 гаргасан гол ойлголтод шууд хүргэсэн.
📝
paper/main.tex
LaTeX source for the full research paper — the formal write-up of all results.Бүрэн судалгааны өгүүллийн LaTeX эх — бүх үр дүнгийн албан ёсны бичгийн хэлбэр.
LaTeXPDFPreprint
▼
Paper structureӨгүүллийн бүтэц
The paper contains: Abstract, Introduction (BK background), Methods (spacing covariance, normalization), Results (table with r values for all 3 datasets), Discussion, Limitations, Conclusion. Өгүүлэл дараах хэсгүүдийг агуулна: Хураангуй, Танилцуулга (BK суурь), Арга (зайн ковариансыг, нормализаци), Үр дүн (3 датасетийн r утгын хүснэгт), Хэлэлцүүлэг, Хязгаарлалтууд, Дүгнэлт.