Nexcore Research · Computational Number Theory

Steven Clark Formula Analysis

f(x) = −2x−½ Σcos(γₙ log x) · Riemann Zeros · Prime-power Detection
ψ₀(x) Explicit Formula & Prime vs Composite
Тохиргоо
N zeros
x max
Тооцоолж байна...
f(x) = −2x−½ Σcos(γₙ log x) · улаан цэг = prime-power
Баталгаа
Бүх prime-power дээр f(p^k) > 0
Riemann zeros ашиглан тооцоолохоор prime болон prime-power орчимд f(x) spike гаргадаг. Composite тоонуудын дээр утга тэгийн орчимд тэнэнэ. Steven Clark-н Figure (1)-ийн яг давталт.
Тохиргоо
N zeros
Sample N
Scatter — f(p) Prime vs f(c) Composite
Гистограм — f(x) тархалт
Үр дүн
μ f(prime) ≫ μ f(composite) — Cohen's d тооцоолол
Тооцоол товчийг дарна уу...
ψ₀(x) Explicit Formula
ψ₀(x) ≈ x − 2√x · Σₙ [(½cos(γₙ log x) + γₙ sin(γₙ log x)) / (¼ + γₙ²)]
       − log(2π) − ½ log(1 − x⁻²)
// ρ = ½ + iγ, нийлбэр N zeros дээр (N→∞ байх ёстой)
N zeros
Prime хүртэл
ψ₀(x) — жинхэнэ vs explicit approximation
Алдаа — ψ₀_approx − ψ₀_true
Анхааруулга
N=100 zeros → алдаа том; N→∞ байх ёстой
ψ₀(x) нийлбэр аажмаар нийлдэг (conditionally convergent). p=2,3 дээр алдаа ≈0.5% боловч том p дээр алдаа өсдөг. Жинхэнэ нийлэхийн тулд N ≥ 10,000+ zeros шаардлагатай.
Бүрэн тооцооны хүснэгт
N zeros
x max
f(p^k) утгууд — prime-power бүр
p^k p k f(p^k) Λ(p^k) f / Λ Composite орчим f Тип
Тооцоол товчийг дарна уу...